Числа Фибоначчи: как появились и где используются

Разбираемся в математике, которая управляет природной гармонией, и разрушаем мифы о знаменитой последовательности.

Числа Фибоначчи — это последовательность чисел, где каждое число равно сумме двух предыдущих. Начинается с двух единиц: 1, 1. Затем: 2 (1 + 1), 3 (1 + 2), 5 (2 + 3), 8 (3 + 5), 13 (5 + 8) и т. д. Последовательность чисел Фибоначчи выглядит так: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55...

Числа Фибоначчи часто называют природным языком гармонии, но последовательность можно встретить, не только рассматривая расположение лепестков в цветке, но и в архитектуре или программировании.

В ананасе чешуйки расположены рядами: восемь рядов под одним углом, 13 под другим и 21 ряд — почти вертикально. Источник

Числа Фибоначчи — это только малая часть того, что из математики важно знать аналитику данных. Математика лежит в основе всех методов анализа: от поиска закономерностей до построения прогнозов. Числа Фибоначчи, например, помогают понимать, как данные могут расти или повторяться в природе и системах, а также находить оптимальные решения. Эти числа используются в алгоритмах, финансовых моделях и прогнозировании. На курсе «Математика для анализа данных» помогают освоить базу по линейной алгебре, математическому анализу, статистике и теории вероятностей, а в конце обучения готовят к технической части собеседования на примерах реальных задач.

В 1202 году итальянский математик Леонардо Пизанский, наиболее известный как Фибоначчи, опубликовал книгу «Liber Abaci» («Книга абака»). В ней он объяснял использование арабских цифр, которых Европа тогда ещё не знала.

В одном из примеров он рассмотрел гипотетическую задачу о размножении кроликов. Сформулировал её так: «Если у пары кроликов каждый месяц начиная со второго появляется ещё пара, сколько пар будет через год?» Математик решил задачу и вывел последовательность, которая описывает рост популяции. Это и были числа Фибоначчи.

Кролики из задачи Фибоначчи

Фибоначчи популяризировал последовательность в Европе, но она была известна задолго до него. Например, древнеиндийские математики изучали её в VI–VII веках для анализа поэтических размеров.

Спустя столетия после открытия чисел Фибоначчи учёные обнаружили, что эта последовательность встречается в природе. Например:

● Лепестки на цветах, шишки и семена подсолнечника формируются по спиралям, число которых — это числа Фибоначчи.

● Раковины моллюсков часто напоминают спираль из-за того, как они растут. Моллюск увеличивает свою раковину, добавляя новый материал по мере роста. При этом размеры новых частей пропорциональны уже существующим — то есть рост идёт равномерно, но увеличивается с каждым витком.

Эта закономерность называется логарифмической спиралью. Она связана с числами Фибоначчи, потому что такие спирали строятся с использованием пропорций, похожих на соотношения соседних чисел последовательности (например, 5:3, 8:5).

● Рост некоторых деревьев тоже связан с числами Фибоначчи. Сначала у дерева один ствол, через некоторое время он делится на две ветви, и дальше каждая ветка через определённое время даёт новую ветвь, но не все одновременно. Такой рост позволяет дереву эффективно распределять ресурсы — каждая ветка получает доступ к солнечному свету, а дерево сохраняет равновесие.

Если подсчитать количество веток на каждом «этапе» роста, получится последовательность Фибоначчи: 1, 2 ,3, 5, 8, 13, 21. Это не строгий закон, но закономерность часто встречается в природе

Золотое сечение — это соотношение между двумя элементами, примерно равное 1,618. Например, если одна линия длиной 1 метр, а другая — 1,61 метра, они находятся в золотом соотношении. Это отношение можно визуализировать через пропорции кругов, квадратов или треугольников. Деление любого числа на предыдущее в последовательности Фибоначчи стремится к 1,618, что и объясняет гармонию золотого сечения.

Например:

● 8 ÷ 5 ≈ 1,6.
● 13 ÷ 8 ≈ 1,625.
● 21 ÷ 13 ≈ 1,615.

Чем дальше в последовательности, тем точнее пропорция.

Золотое сечение — это иррациональное число. Оно бесконечно и не имеет периодической части в десятичной записи, то есть его нельзя точно представить в виде простого дробного числа. Для удобства используют рациональную аппроксимацию (приближение) — 1,618. Она достаточно точна, чтобы применять её на практике.

Пропорции в основе золотого сечения естественны для глаза, поэтому их начали использовать в искусстве и дизайне.

1. Картины и фотография. Художники и фотографы размещают ключевые элементы на линиях золотого сечения, чтобы кадр выглядел сбалансированным.

Золотое сечение в картинах Леонардо да Винчи. Источник

2. Типографика. Пропорции шрифтов или расстояния между строками часто выбирают, ориентируясь на золотое сечение, чтобы текст был приятным для чтения.

Золотое сечение в основе шрифта от дизайнера Fabrizio Schiavi. Источник

3. Логотипы строят на основе спирали Фибоначчи или пропорций золотого сечения, чтобы они выглядели гармонично.

Золотое сечение в логотипе Apple. Источник

4. Интерфейсы. В веб-дизайне используют сетки, где размеры блоков часто соответствуют числам Фибоначчи. Это помогает правильно распределить пространство на экране, чтобы пользователю было удобно и приятно смотреть.

Расположение элементов по правилам Фибоначчи помогает не только гармонично расположить блоки с картинками и текстом, но и направить внимание пользователя на кнопки с целевым действием. Источник

● Проверка знаний. Разработчикам на собеседовании иногда предлагают написать код, который вычисляет числа Фибоначчи. Это помогает проверить, понимает ли человек рекурсию (функция вызывает саму себя) и оптимизацию, например с использованием мемоизации — хранения промежуточных результатов, чтобы не считать одно и то же дважды.

● Поиск Фибоначчи — это способ быстро найти нужное значение в отсортированном списке (например, список цен от меньшей к большей).

Вместо того чтобы вычислять середину, как в бинарном поиске, этот метод выбирает точки сравнения в списке, основанные на числах Фибоначчи. Например, если в списке 21 элемент, для первой проверки выбирается индекс 13 (соответствующий числу Фибоначчи), а последующие индексы также определяются числами Фибоначчи (8, 5 и т. д.). Использование чисел Фибоначчи позволяет оптимизировать поиск за счёт меньшего количества операций сравнения при определённых размерах данных. Такой подход может быть удобнее, чем бинарный поиск, в условиях медленного или последовательного доступа к элементам списка.

● Управление нагрузкой на системы. Когда система обрабатывает множество запросов, важно равномерно распределить эту нагрузку между серверами, чтобы избежать их перегрузки. Хотя числа Фибоначчи непосредственно не используются для распределения запросов, они могут применяться для адаптивного увеличения объемов работы. Например, при добавлении новых серверов или ресурсов система может увеличивать их нагрузку по последовательности Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5...), чтобы избежать резкого скачка и лучше адаптироваться к изменяющимся условиям.

● Управление повторными попытками в распределённых системах. В облачных сервисах или других распределённых системах если запрос временно не проходит, система должна повторить попытку. Чтобы не перегружать систему постоянными запросами, интервалы между повторными попытками могут увеличиваться в соответствии с последовательностью Фибоначчи. Например, после первой попытки пауза составляет 1 секунду, после второй — ещё 1 секунду, затем 2, 3, 5 секунд и так далее. Такой подход называется «фибоначчиевая экспоненциальная задержка» (Fibonacci exponential backoff) и позволяет уменьшить нагрузку на систему, одновременно увеличивая шансы на успешное выполнение запроса.

● Управление спринтами. В методологии Agile задачи оценивают по сложности или времени выполнения. В планировании часто используют шкалу, основанную на числах Фибоначчи (1, 2, 3, 5, 8, 13...). Это помогает быстрее определять сложность, не пытаясь дать слишком точные, но бесполезные оценки.

Некоторые аналитики используют числа Фибоначчи при техническом анализе рынка — определяют уровни поддержки и сопротивления, прогнозируют колебания цен на акции и криптовалюту.

● Уровни коррекции. Финансовые аналитики используют коэффициенты Фибоначчи (23,6%, 38,2%, 61,8%) для предсказания уровней коррекции цены. Это помогает понять, где цена может замедлиться или развернуться.

● Цели трендов. При прогнозировании роста или падения активов трейдеры используют расширения Фибоначчи для определения целевых уровней движения цены.

● Алгоритмическая торговля. В автоматизированных торговых системах числа Фибоначчи закладываются как один из критериев анализа.

Миф 1. Числа Фибоначчи объясняют все природные формы

Хотя последовательность действительно встречается в природе, это не универсальное правило. Например, есть растения, листья которых расположены не по законам Фибоначчи, и это не мешает им расти.

К тому же золотая спираль, которая часто встречается в природе, и спираль Фибоначчи хоть и похожи, но не совпадают в точности:

● Золотая спираль — это плавная, непрерывная кривая, которая расширяется на фиксированный коэффициент золотого сечения (примерно 1,618) при каждой четверти оборота. Её форма задаётся математической формулой, и она растёт равномерно.
● Спираль Фибоначчи строится из отдельных дуг, каждая из которых соответствует числам Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8...). Она выглядит ступенчатой из-за дискретного увеличения радиусов. По мере роста спираль Фибоначчи становится всё ближе к золотой спирали, но никогда не становится такой же плавной и непрерывной.

Миф 2. В основе красивого — всегда золотое сечение

Не всякая эстетически красивая композиция основана на золотом сечении или последовательности Фибоначчи. Многое — результат субъективного восприятия или случайного совпадения.

Режиссёр Уэс Андерсон нарушает правило золотого сечения симметричными кадрами. Источник

Миф 3. Технический анализ по Фибоначчи всегда работает

В финансах коэффициенты Фибоначчи используются для прогнозирования цен, но это не магия. Уровни коррекции и расширения помогают трейдерам видеть возможные сценарии, но не гарантируют успех. Рынок слишком сложен, чтобы полагаться только на одну математическую модель.

Миф 4. Числа Фибоначчи скрывают тайны Вселенной

Природа и последовательность Фибоначчи связаны математически, но в этом нет мистики. На эту тему рассуждает в статье физик и математик Роджер Пенроуз. Расположение листьев по спирали, соответствующее числам Фибоначчи, позволяет растениям эффективно использовать солнечный свет и дождевую воду. Это не значит, что природа «знает» математику. Скорее, физические и биологические законы формируют такие структуры автоматически. Например, расположение листьев — результат естественного отбора.

Получается, что природные структуры следуют математическим принципам, но математика помогает раскрывать закономерности, а не создавать их.