Обратная матрица: что это такое, как её построить и рассчитать

Обратную матрицу применяют в графике, 3D-моделировании и при решении систем линейных уравнений. Рассказываем про её свойства и методы нахождения на простых примерах.

Матрица А размера m × n — это прямоугольная таблица элементов, которая состоит из m строк и n столбцов. Если количество строк и столбцов совпадает, то матрицу называют квадратной. Элементами матрицы могут быть переменные, числа, математические выражения и т. д. Например, вот простая матрица размером 2 × 2.

Другими словами, обратная матрица «нейтрализует» действие исходной матрицы и возвращает нас обратно к начальному состоянию. Рассмотрим пример равенства для исходной матрицы из примера выше. Он будет выглядеть так:

Точно так же работает и обратная матрица. Если умножить исходную квадратную матрицу на её обратную, получится единичная матрица. Теперь разберём свойства обратной матрицы.
Обратная матрица нужна в аналитике и Data Science. Её изучают на курсе «Математика для анализа данных». За шесть месяцев студенты изучат векторы, нормы векторов, матрицы и обратные матрицы, теорию вероятностей.

Обратные матрицы отличаются от других матриц своими свойствами. Первое свойство мы уже использовали в примере выше. Всего их шесть.

1. Коммутативность. В обычном матричном произведении менять матрицы местами нельзя, в обратной матрице — можно. Произведение матрицы и обратной ей коммутативно — это значит, что независимо от расположения матриц результат будет одинаковым.

2. Единственность. У любого ненулевого числа есть только одно обратное число. Так же и матрица может иметь не более одной обратной. Это значит, что нельзя создать две различные обратные матрицы для одной и той же исходной матрицы.

3. Расчёт матрицы, обратной произведению. При умножении нескольких матриц обратная матрица подчиняется закону ассоциативности, когда результат не зависит от порядка действий.

4. Умножение матрицы на скаляр (число), отличный от нуля. Такое умножение тоже коммутативное. Получится одинаковый результат как при умножении скаляра на матрицы, так и при умножении матрицы на скаляр.

5. Матрица, обратная обратной. Если матрица A обратима, то матрица A⁻¹ тоже обратима.

6. Транспонирование обратной матрицы. Для начала напомним, что транспонированная матрица — это матрица, полученная из исходной путём перестановки строк и столбцов. Первая строка исходной матрицы становится первым столбцом транспонированной, вторая — вторым, и т. д.

Метод алгебраических дополнений — это метод, при котором нахождение обратной матрицы происходит в три действия и в строго определённом порядке. Вот формула:

● |A| — это определитель матрицы A, то есть число, которое характеризует обратную матрицу и преобразование векторного пространства квадратной матрицей линейного преобразования. Если определитель равен нулю, то матрица считается вырожденной и обратной у неё нет. Поэтому в свойствах мы определили, что матрица может иметь не больше одной обратной: вариант с нулём обратных матриц также встречается.
● Aijᵀ — это транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A.

Теперь потренируемся вычислять обратную матрицу на нашей исходной матрице А. Вычисление происходит в три действия.

1. Вычисление определителя. Для этого нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов побочной диагонали:

Определитель не равен нулю, значит, вычисление обратной матрицы можно продолжать. Сразу вычислим нужную для формулы дробь:

2. Вычисление транспонированной матрицы алгебраических дополнений. Эта матрица также будет иметь размер 2 × 2. Алгебраическое дополнение конкретного элемента матрицы можно найти по формуле:

Mij — это дополнительный минор элемента, то есть определитель исходной матрицы, полученный после вычёркивания i-й строки и j-го столбца. Для матрицы 2 × 2 это будет единственный оставшийся элемент.

Например, для элемента на пересечении первой строки и первого столбца дополнительным минором будет элемент на пересечении второй строки и второго столбца.

Вычислим алгебраические дополнения и соберём их в матрицу:

Теперь транспонируем матрицу:

3. Произведение. Умножим матрицу на число –0,5, полученное на первом шаге, и получим матрицу, которую проверяли в начале статьи:

Элементарные преобразования матрицы — это те преобразования, которые сохраняют эквивалентность матриц. Такие преобразования можно проводить как со строками, так и со столбцами матрицы. При этом изменять строки можно только со строками, а столбцы — только со столбцами. К преобразованиям матрицы относятся:

● перестановка местами любых двух строк или столбцов матрицы;
● умножение любой строки/столбца на ненулевое число;
● прибавление к одной строке/столбцу другой строки/столбца, умноженного на отличное от нуля число.

Чтобы получить обратную матрицу, нужно приписать к исходной матрице справа единичную матрицу. Дальше элементарными преобразованиями необходимо получить слева единичную матрицу. Тогда в правой части получится матрица, обратная данной. Возьмём новую матрицу В и потренируемся на ней. Находить обратную матрицу в этом примере будем в семь действий.

1. Припишем справа единичную матрицу:

2. Первую строку разделим на три:

3. Из второй строки вычтем первую, умноженную на два:

4. Вторую строку разделим на –1/3:

5. Из первой строки вычтем вторую строку, умноженную на 8/3:

6. Получилась обратная матрица

7. Проверим, действительно ли полученная матрица является обратной:

В начале статьи мы упоминали, что обратная матрица отменяет действие исходной. Это свойство важно при преобразовании матриц. Дело в том, что матрица линейного преобразования влияет на все векторы векторного пространства. Она может их сжать или растянуть, сдвинуть или повернуть.

Соответственно, обратная матрица линейного преобразования позволяет вернуть векторы в исходный вид. При этом если с векторами произошло несколько линейных преобразований, свойство ассоциативности обратных матриц поможет сконструировать обратную матрицу, которая отменит оба действия сразу. Например, в случае если вектор сдвинули на три клетки вправо и растянули в четыре раза.

Вот несколько сфер применения обратных матриц:

● Компьютерная графика, 3D-моделирование, анимация. Обратную матрицу применяют при сдвиге, повороте, масштабировании векторов и для различных преобразований координат. Например, для перехода из мировых координат в локальные.
● Статистика. Обратные матрицы используют в регрессионном анализе при вычислении коэффициентов регрессии.
● Криптография. Применения матриц требуют некоторые алгоритмы шифрования, например блочные шрифты.
● Экономика. Обратные матрицы помогают находить объёмы производства в межотраслевом балансе.
● Теория игр. Обратные матрицы помогают находить смешанные равновесия в матричных играх. В повторяющихся играх или в стохастических играх обратные матрицы полезны для вычисления ценности состояний.

Ещё обратные матрицы позволяют решать системы линейных уравнений. Приведём пример. Допустим, система задана в матричной форме:

А — квадратная матрица коэффициентов линейных уравнений, Х — вектор неизвестных, а В — вектор свободных членов. Решить уравнение можно с помощью обратной матрицы:

Вычисление обратной матрицы занимает довольно много времени. Поэтому этот метод эффективен только для небольших матриц. Но сама связь систем и матриц важна для линейной алгебры.