Анализ данных • 16 июля 2025 • 5 мин чтения

Линейная функция, её свойства и график

Разберём, что такое линейная функция и как построить график и решать примеры.

Что такое линейная функция и где её применяют

Линейная функция — это функция, график которой является прямой линией. Её используют в алгебре, экономике, биологии, физике и так далее. Линейную функцию можно задать формулой вида:

y = kx + b

● x — независимая переменная
● у — значение функции.
● k — угловой коэффициент.
● b — свободный член. При х = 0 функция принимает вид y = b и пересекается с осью y.

Посмотрим, как это работает на уравнениях функций. Например, y = - 2x + 3, y = - 2 + 3x, y = - x, y = 5. Найдём в них k и b.

Для тех, кто хочет вспомнить математику, статистику и развиваться в аналитике, есть курс «Математика для анализа данных». За шесть месяцев студенты научатся применять статистические тесты, разберутся в теории вероятности, погрузятся в линейную алгебру и решат тысячу задач. После обучения, выпускники смогут понять, в каком направлении двигаться дальше и применять математические знания в работе.

График линейной функции

График линейной функции является прямой, состоящей из множества точек. Чтобы его построить, необходимо минимум две точки: соединив их, мы единственным образом получим прямую. При этом координату х нужно выбрать самостоятельно, а координата у получается подставлением значения х в формулу. Для примера возьмём функцию y = 2x + 1 и составим таблицу значений.

x	y
0	2 * 0 + 1 = 1
2	2 * 2 + 1 = 5

Теперь отметим полученные точки на координатной плоскости. Затем соединим их. В результате получится график линейной функции. Для удобства можно воспользоваться калькуляторами графиков. Для построения этого графика мы использовали сайт desmos. Можно брать две абсолютно любые точки. Например, точка (1; 3) так же будет на этом графике, так как 2*1+1=3.

График линейной функции y = 2x + 1

Свойства линейной функции

Расположение графика функции y = kx + b на координатной плоскости зависит от коэффициентов k и b. Рассмотрим эти коэффициенты на примерах. Для наглядности дополнительно построим графики по этим примерам.

● Коэффициент k. В уравнении функции y = kx + b, коэффициент k отвечает за наклон графика функции. Всего наклонов может быть три.
1. k больше нуля — график наклонён вправо, функция возрастает.
2. k меньше нуля — график наклонён влево, функция убывает.
3. k равен нулю — линия расположена параллельно оси x, функция постоянна.

Построим в одной системе координат графики функции и у = х + 3, и у = -х + 3. Составим таблицы значений для каждой функции.

Отметим полученные точки на координатной плоскости и соединим их. На графике видно, что две линии пересекаются. Один график функций наклонён влево, а другой — вправо.

Графики убывающей функции у = -х + 3 (зёлёная) и возрастающей линейной функции у = х + 3 (красная)

● Коэффициент b. Коэффициент b отвечает за сдвиг графика вдоль оси у. Он показывает положение линии на высоте. У b может быть три положения:
1. b больше 0 — прямая пересекает ось у выше начала координат. Начало координат — точка (0, 0).
2. b меньше 0 — прямая пересекает ось у ниже начала координат.
3. b = 0 — линейная функция принимает вид y = kx.

Построим в одной системе координат графики функции y = x, y = x + 2, y = x - 3. Составим таблицы значений для каждой функции.

Отметим полученные точки на координатной плоскости и соединим их. На графике видно, что три прямые находятся параллельно друг другу. Одна прямая находится выше начала координат, вторая — пересекает начало координат, а третья линия находится ниже начала координат.

y = x — зелёная линейная функция, y = x +2 — синяя, y = x - 3 — красная

Пример решения задачи

Задача: построить график y = 2x + 3 и найти значения функции y для x = -1, 2, 3, 5. Сначала выберем точки для построения графика.

x	y
0	3
2	7

Теперь построим график линейной функции. Соедините две точки из таблицы. Такой результат должен получиться:

График линейной функции y = 2x + 3

Теперь найдём необходимые значения функции y для x: -1, 2, 3, 5. Найдём на графике значения y и запишем их в таблицу. Для наглядности на скриншоте нахождение точек отмечены стрелками.

Поиск y в линейной функции

Теперь запишем значения в таблицу. В левый столбик значения x, которые даны в задаче. В правый — значения y, которые мы нашли.

x	y
-1	1
2	7
3	9
5	13

Совет эксперта

Полина Нестеренко

Линейная функция определяет прямо пропорциональные зависимости: зависимость пройденного расстояния от времени при равномерной скорости, зависимость изменения температуры воды от времени её нагревания, связь расстояний на карте и в реальном мире и так далее. Если такую информацию необходимо визуализировать, удобнее всего выбирать небольшие целые числа в качестве значения х. Например, 1, 2, -1, -2 и так далее.

При х = 0 мы автоматически получаем известное значение y = b. А другие небольшие целые значения позволяют быстрее вычислить значение у и получить график, по которому удобно работать. Чем больше расстояние между выбранными точками, тем больше места нужно для графика и тем сложнее определить по нему значения конкретных точек.

Статью подготовили: