Стыдные вопросы о логарифмах: всё, что нужно знать

Для начала нужно вспомнить показательные функции. Допустим, есть функция f(x) = a^x, в которой основание a (a > 0, a! = 0) возводится в степень x. Логарифм — это обратная функция, которая позволяет понять, в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить значение показательной функции и уравнение было верным. Формула логарифма в этом случае будет такой:

log_a(a^x) = x.

Возьмём для примера выражение 2⁴ = 16. Процесс поиска аргумента — степени, в которую нужно возвести основание 2, чтобы получить 16, — называется логарифмированием. Формула выглядит так:

log_2(16) = 4.

Разобраться в логарифмах поможет курс «Математика для анализа данных». Занятия позволят изучить математический анализ, линейную алгебру, статистику и теорию вероятностей, а также отработать знания более чем на 1000 практических задач. По итогам обучения студенты смогут проводить А/B-тесты, применять методы линейной регрессии и сингулярного разложения, а также работать с градиентным спуском и другими алгоритмами обучения нейросетей.

Существует несколько видов логарифмов, которые различаются основаниями.

• Натуральный. Самый популярный логарифм. В его основании — число е (или число Эйлера), которое равняется примерно 2,718. Это иррациональное число, то есть его нельзя записать как дробь. Натуральный логарифм записывается как log_e x, или сокращённо ln х.
• Десятичный. Основание — 10. Привычная для большинства людей система счисления. Он записывается как log₁₀ х или lg х.
• Двоичный. В основании — 2. Этот вид логарифмов используется, к примеру, в разработке, поскольку там используется двоичная система. Обозначается как lb x.

Логарифмирование используется в тех сферах, где применяются математические инструменты.

• IT. Здесь логарифмирование используется, например, в алгоритме бинарного поиска O (log N), который помогает находить элементы в отсортированном массиве.
• Физика. Звук принято измерять по логарифмической шкале. Согласно закону Вебера — Фехнера, его интенсивность линейно зависит от логарифма интенсивности раздражителя:
  S = k * log (I).
• Химия. Применение логарифмирования помогает определить показатель кислотности (pH) растворов и рассчитать концентрацию катионов водорода в них. Формула выглядит так:
  pH = –lg[H⁺].
• Биология. С помощью логарифмов можно проводить анализ данных о росте популяций, распространении болезней и других биологических процессах. К примеру, уравнение экспоненциального роста популяции с учётом её изначальной численности, коэффициента роста и времени будет таким: N = N_0 * e^kt. А экспоненциальные функции обратны логарифмическим, то есть рост популяции можно представить так: ln (N) = ln (N_0) + kt.
• Музыка. В музыкальной теории логарифмы нашли применение в измерении высоты звуков и интервалов между ними. К примеру, октавы, которые представляют собой интервал с удваивающейся частотой вибрации, можно представить и сравнить в виде логарифмической шкалы.

В логарифмировании есть несколько правил, которые также называются свойствами. Они упрощают процесс решения задач с логарифмами. Рассмотрим подробнее основные свойства: 

1. Основание не может быть отрицательными или равными числу 1, а аргумент должен быть больше нуля. 

2. Логарифм единицы — это всегда ноль, вне зависимости от основания, потому что любое число в степени 0 даёт единицу. 

log_a (1) = 0. 

3. Логарифм числа в степени равняется этой степени. Это одно из фундаментальных свойств логарифмов, согласно которому число под логарифмом «выходит» из-под него в виде показателя степени с тем же основанием. 

log_a (a^b) = b. 

4. Логарифм произведения чисел равен сумме логарифмов этих чисел. То есть чтобы вычислить логарифм произведения, нужно сложить логарифмы его множителей. По сути, это свойство связывает произведение с суммой, что часто используется в статистике. 

log(a*b) = log(a) + log(b). 

5. Логарифмирование деления чисел вычисляется как разность логарифмов этих чисел. Свойство, похожее по логике на предыдущее, которое состоит в том, что для получения логарифма деления необходимо отнять логарифм одного частного от другого. 

log(a/b) = log(a) – log(b). 

6. Логарифм числа с одним аргументом и основанием с другим аргументом равен обратному делению этих аргументов. То есть если основание возводится в степень, то в результате вычисления логарифма от этого же основания в другой степени получится дробь, состоящая из степеней. 

log_a^k (a^m) = m/k. 

7. В результате логарифмирования основания с одним аргументом от числа с другим аргументом получается деление этих аргументов, умноженное на логарифм основания от заданного числа. То есть если у основания и числа, от которого вычисляется логарифм, разные аргументы, то степени выносятся как дробь и умножаются на тот же логарифм, но без степеней. Проще говоря, аргументы можно использовать в качестве множителя. 

log_a^k (b^m) = m/k log_a (b). 

8. Логарифмические уравнения, где число и основание — разные, равны делению логарифмов этих чисел с одинаковым основанием. Проще говоря, можно ввести новое основание к каждому логарифму этих чисел и разделить их друг на друга. Это свойство перехода к новому основанию — по сути, это умножение на некую константу. 

log_a (b) = log_с (b) / log_с (a). 

9. Произведение логарифмов разных чисел с разными основаниями даёт в результате произведение логарифмов тех же чисел со взаимным обменом основаниями. По сути, при умножении логарифмы могут меняться основаниями, и равенство останется верным. 

log_a (b) * log_с (d) = log_c (b) * log_a (d). 

10. В случае, когда степенью одного числа является логарифм второго, оно будет равно второму числу в степени логарифма первого с тем же основанием. Проще говоря, здесь происходит обмен множителями, а основание логарифма в степени остаётся неизменным. 

a^{log_c (b)} = b^{log_c (a)}.

Разберёмся, как решать логарифмические уравнения. 

Для начала возьмём для примера простой логарифм log_5 (125) = x.

Нужно определить, в какую степень нужно возвести число 5, чтобы получилось 125. Для этого необходимо перевести уравнение в показательную функцию: 

5^x = 125. 

Она позволяет определить, что x = 3, а значит, log_5 (125) = 3. 

Рассмотрим, как решать уравнения с логарифмами, на примере посложнее. Допустим, есть такое уравнение:

Для начала нужно определить область допустимых значений x. Он есть исключительно в аргументе логарифма, поэтому ограничения будут касаться именно его: x > 0. 

Если посмотреть на неравенство внимательно, можно заметить повторяющийся элемент log₃х. Причём в первом случае именно логарифм, а не аргумент возведён в степень. Это позволяет упростить уравнение, заменив log₃х на t. В таком случае неравенство будет выглядеть так: 

t² – 10t ≥ –21. 

Следом можно преобразовать отрицательное число во второй части неравенства в положительное, перенеся его в первую часть: 

t² – 10t + 21 ≥ 0. 

Таким образом, первая часть уравнения стала квадратным неравенством. Его можно решить, если найти нули функции, приравняв к нулю: 

t² – 10t + 21 = 0.

Таким образом, значение t может быть в промежутках меньше 3 и больше 7. Если вернуться к логарифмам, это будет выглядеть так: 

log₃х ≤ 3;

log₃х ≥ 7.

Следом можно также перевести в логарифмы вторые части неравенства:

log₃х ≤ log₃21;

log₃х ≥ log₃2187. 

Благодаря тому, что в обеих частях неравенства логарифмы с одним и тем же основанием, их можно сократить. Получим следующие неравенства аргументов: 

х ≤ 21;

х ≥ 2187. 

Учитывая область допустимых значений, которую мы обозначили вначале, решение уравнения будет таким: