Анализ данных • 20 августа 2025 • 5 мин чтения

Полный гайд по производной: формулы и примеры

Объясняем, что представляет собой производная, каковы её основные свойства и формулы. Рассказываем, как нарисовать график производной функции, приводим примеры решения задач.

Понятие производной функции

Производная функции одной переменной — это характеристика, показывающая, насколько быстро меняется значение функции при при изменении аргумента.

По сути, производная — это мгновенная скорость изменения. Условно говоря, функция показывает путь автомобиля, а её производная — скорость движения в это время

График производной:

Угол α показывает наклон касательной: чем он больше, тем выше значение производной. Величина df (x, Δx) — это дифференциал функции, то есть приращение, рассчитанное по касательной, которое приближает реальное Δf при малом Δx

Разберём на примере функции f (x) = x2. Надо найти её производную по определению:

 f'(x) = lim (Δx → 0) [f (x + Δx) — f (x)] / Δx.

 Подставим f (x) = x²:

f'(x) = lim (Δx → 0) [(x + Δx)² — x²] / Δx.

Раскроем скобки:

f'(x) = lim (Δx → 0) [x² + 2x·Δx + (Δx)² — x²] / Δx.

Упростим x²:

f'(x) = lim (Δx → 0) [2x·Δx + (Δx)²] / Δx.

Вынесем Δx:

f'(x) = lim (Δx → 0) [2x + Δx].

Если Δx → 0, получим:

f'(x) = 2x.

Например, в точке x = 3:

f'(3) = 6.

То есть вблизи точки x = 3 при очень малом увеличении аргумента Δx значение функции x2 возрастает примерно на 6 ⋅ Δx. Такое утверждение основано на одном из свойств производной — линейном приближении f (x+Δx) ≈ f (x) + f′(x) Δx, которое верно при Δx → 0.

 Что важно знать о производной

  • Её значение зависит от точки: одно и то же правило может давать разные результаты при разных значениях переменной (x).
  • Знак производной демонстрирует характер изменения функции. Положительный — она возрастает, отрицательный — убывает. Когда в точке она равняется нулю, это, возможно, экстремум — локальный максимум или минимум. Но важно помнить, что это не всегда так: ноль производной может соответствовать и точке перегиба, как, например, у f (x) = x3 в нуле.

 Узнать о других нюансах производной, а также освоить другие понятия математического анализа поможет курс «Математика для анализа данных». Обучение подойдёт начинающим аналитикам и специалистам по Data Science, позволит систематизировать и актуализировать знания и подготовиться к собеседованиям.

Смысл производной

Понимание геометрического и физического смысла производной в математическом анализе помогает читать графики функций, находить экстремумы без громоздких расчётов и интерпретировать данные в прикладных задачах — от механики до экономики.

В геометрическом смысле значение производной в точке соответствует наклону касательной к графику функции в этой точке. Проще говоря, в выбранной точке прямая едва касается графика, не пересекая его.

Студенты курса «Математика для анализа данных» изучают геометрический смысл производной с помощью интеграктивного учебника, который наглядно показывает, как меняется её значение по касательной

Физический смысл производной в том, что она показывает скорость изменения величины во времени. Иными словами, скорость — это производная пути по времени, ускорение — производная скорости.

Например, если автомобиль двигается и разгоняется, его путь S(t) — кривая, а наклон касательной к этому графику в любой момент времени даёт скорость v(t) = S′(t). Если скорость тоже меняется, можно построить её график и снова применить операцию дифференцирования. Так появляется новая величина — ускорение: a(t) = v′(t) = S′′(t). Это вторая производная S′′(t), которая показывает, насколько быстро изменяется сама скорость, то есть описывает «характер изменения движения». Такой подход расширяет анализ: зная не только скорость, но и ускорение, можно предсказать, как именно будет вести себя объект в ближайшие моменты времени.

Где ещё применяются производные

Производные встречаются не в одних в учебниках по математическому анализу, но и в прикладных задачах. Всё начинается с построения модели — функции, описывающей поведение системы по данным наблюдений или расчётов. Анализ производной этой функции показывает, где модель достигает экстремумов, на каких участках она растёт или убывает и с какой скоростью происходят изменения. Такой подход лежит в основе прогнозирования, оптимизации и моделирования процессов в самых разных сферах.

Экономика. Производная функции прибыли или издержек показывает, как изменяется результат при изменениях цены или объёма выпуска. По сути, маржинальный анализ — это нахождение цены, при которой прирост прибыли становится нулевым, что помогает определить оптимальную стратегию ценообразования.
Машинное обучение. В алгоритмах оптимизации, например в градиентном спуске, с помощью производных вычисляют градиенты функции ошибки. Градиент указывает направление наибольшего роста функции, а чтобы найти её минимум (экстремум), мы двигаемся в противоположную сторону. При обучении нейросети это означает: градиент ошибки по весам показывает, как изменить веса, чтобы уменьшить ошибку в следующей итерации.
Физика и инженерия. Производные описывают скорость и ускорение, изменение температуры во времени, скорость химической реакции. Так, в механике второй закон Ньютона F = m ⋅ a напрямую связывает силу с производной скорости — ускорением.
Медицина и биология. Используются для анализа скорости роста популяций, динамики концентрации лекарств в крови. Например, модель фармакокинетики определяет момент, когда концентрация вещества достигает максимума и когда начинает снижаться.

График производной функции

Понимание того, как выглядит график производной, помогает быстро находить ключевые особенности функции. В первую очередь — точки экстремума. Такие точки легко заметить на графике производной: там она пересекает ось x — значение равно 0, а знак значения производной меняется.

Чтобы построить график производной по графику функции, нужно выполнить три шага:

1. Определить точки, где касательная горизонтальная. Там производная равна нулю, на исходной кривой это экстремумы.
2. Определить знак производной на разных участках. Положительный наклон касательной значит, что она выше оси x, а отрицательный — что ниже.
3. Оценить относительные значения. Чем круче наклон касательной, тем больше по модулю значение производной.

В экстремумах производная равна нулю, но не каждый ноль производной является экстремумом. Знак производной на промежутках между нулями показывает, возрастает функция или убывает.

Основные формулы производных

Знание основных формул производных позволяет быстро вычислять скорость изменения различных функций без обращения к определению через предел. Эти правила лежат в основе решения большинства задач по математическому анализу, физике и прикладной математике.


Функция f(x)


Производная f′(x)

c (константа)
0
xn
n ⋅ xn−1
ex
ex
ax
ax ⋅ ln a
ln x
1/x
sin x
cos x
cos x
–sin x

В реальных задачах функции редко бывают «в чистом виде». Чаще они состоят из нескольких частей: слагаемых, множителей или вложенных выражений. Например, x2 ⋅ sin x или ln (cos x). Чтобы взять их производную, нужно уметь правильно сочетать базовые формулы. Для этого есть правила дифференцирования.

Эти четыре правила позволяют вычислить производную практически любой сложной функции, комбинируя базовые формулы так же, как из отдельных деталей собирают целый механизм

Разберём формулы производных на примере. Допустим, f(x) = x2 ⋅ sin x. Найдём её производную:

1. Определяем тип выражения — это произведение двух функций: u = x2 и v = sin x. Используем правило произведения:

(f ⋅ g)′ = f′ ⋅ g + f ⋅ g′.

2. Находим производные каждого множителя:

  • u′ = (x2)′ = 2x — по формуле для степенной функции;
  • v′ = (sin x)′ = cos x — по формуле для тригонометрической функции. 

3. Подставляем в правило произведения:

f′(x) = u′ ⋅ v + u ⋅ v′ = (2x) ⋅ sin x + (x2) ⋅ cos x.

4. Записываем ответ:

f′(x) = 2x ⋅ sin x + x2 ⋅ cos x.

Графики функции и производной

В итоге мы комбинировали две базовые формулы для xn и sin ⁡x, а также одно правило дифференцирования — произведение, чтобы найти производную сложного выражения.

Свойства производной

Свойства производной помогают понять, как ведёт себя функция, не выполняя сложных вычислений. Они позволяют определить участки роста и убывания, найти экстремумы и выявить особенности графика. Разберём основные из них. 

  1. Связь с непрерывностью. Если функция дифференцируема в точке, она должна быть в ней непрерывна. Но не наоборот: непрерывная функция может иметь «излом» и не иметь производной. Например, f (x) = ∣x∣ непрерывна в нуле, но производной в нуле нет.
  2. Признак экстремума (теорема Ферма). Когда в точке x0​ функция имеет локальный максимум или минимум и дифференцируема, тогда f′(x0) = 0. К примеру, для f (x) = −x2 + 4 максимум достигается при x = 0 и f′(0) = 0.
  3. Характер функции по знаку производной. В случае f′(x) > 0 на интервале функция возрастает. А если f′(x) < 0, тогда убывает. Но ноль производной не всегда означает экстремум. Например, у f (x)=x3 производная f′(x)=3x2 будет ≥0 и обращается в ноль при x = 0. Это точка перегиба, после неё функция продолжает возрастать.
  4. Влияние величины производной. Чем больше её модуль, тем быстрее изменяется функция. Наклон касательной к графику будет тем круче, чем больше значение производной по модулю.

Примеры вычисления производных

Составили несколько примеров вычисления производных — от простых функций до прикладных задач. 

Простая функция

f(x) = x3. 

Для определения производной берём формулу степенной функции:

f′(x) = 3x2. 

Сложная функция

f(x) = ex ⋅ sin⁡ x. 

Это произведение функций u=ex и v = sin ⁡x. Значит, подходит правило произведения:

f′(x) = ex ⋅ sin ⁡x + ex ⋅ cos ⁡x. 

Можно вынести ex:

f′(x) = ex (sin ⁡x + cos⁡ x). 

Вложенная функция

ln ⁡(cos ⁡x).

Это сложная функция, поэтому возьмём производную по формуле f(g(x))' = f'(g(x)) * g'(x). 

Внешняя функция f(x) = ln(x).

Внутренняя функция g(x) = cos ⁡x.

Во внешней функции заменим t = cosx, получится f(t) = ln t, а её производная f’(t) = (ln(t))’ = 1/t. Подставим t = cos⁡x и получим f’(g(x)) = 1/cosx.

Теперь внутренняя функция: её производная
по формуле g’(x) = (cos⁡x)′ = −sin⁡ x.

Получим:

(ln ⁡(cos ⁡x))’ = 1/cos x * (−sin⁡ x) = - sin x / cos x = −tan ⁡x.

Прикладная задача из физики

Путь движения тела задан функцией s(t) = 5t2 + 2t. Расстояние в метрах, время — в секундах. Необходимо определить скорость в момент времени t = 4 с. 

Скорость — это производная пути по времени: v(t) = s′(t) = 10t + 2. 

Добавляем t = 4:
v(4) = 10 ⋅ 4 + 2 = 42 м/с. 

Ответ: скорость в заданный момент — 42 м/с.

Совет эксперта

Анатолий Бардуков

Математический анализ — это прежде всего инструмент для изучения функций, один из двух краеугольных камней современной математики, помимо алгебры. Когда есть возможность описать процесс в химии, физике, биологии или любой другой области с помощью хорошо изученной функции, можно глубоко его проанализировать: понять тенденции, предсказать поведение, найти оптимальные параметры. При этом всегда нужно помнить о реалистичности выбранной модели — это отдельная задача.

Суть в том, что матан не существует «ради матана»: он полезен везде, где есть связь с математикой, и служит средством для получения новых, практически ценных выводов.

Статью подготовили:
Анатолий Бардуков
Яндекс Банк
Data engineer
Женя Соловьёва
Яндекс Практикум
Редактор
Анастасия Павлова
Яндекс Практикум
Иллюстратор

Подпишитесь на наш ежемесячный дайджест статей —
а мы подарим вам полезную книгу про обучение!

Поделиться
Какой вы IT-монстр на Хэллоуин? Пройдите тест и получите скидку на курсы.
Mon Sep 29 2025 13:16:56 GMT+0300 (Moscow Standard Time)