Полный гайд по производной: формулы и примеры
Полный гайд по производной: формулы и примеры
Объясняем, что представляет собой производная, каковы её основные свойства и формулы. Рассказываем, как нарисовать график производной функции, приводим примеры решения задач.
Производная функции одной переменной — это характеристика, показывающая, насколько быстро меняется значение функции при при изменении аргумента.
График производной:
Угол α показывает наклон касательной: чем он больше, тем выше значение производной. Величина df (x, Δx) — это дифференциал функции, то есть приращение, рассчитанное по касательной, которое приближает реальное Δf при малом Δx
Разберём на примере функции f (x) = x2. Надо найти её производную по определению:
f'(x) = lim (Δx → 0) [f (x + Δx) — f (x)] / Δx.
Подставим f (x) = x²:
f'(x) = lim (Δx → 0) [(x + Δx)² — x²] / Δx.
Раскроем скобки:
f'(x) = lim (Δx → 0) [x² + 2x·Δx + (Δx)² — x²] / Δx.
Упростим x²:
f'(x) = lim (Δx → 0) [2x·Δx + (Δx)²] / Δx.
Вынесем Δx:
f'(x) = lim (Δx → 0) [2x + Δx].
Если Δx → 0, получим:
f'(x) = 2x.
Например, в точке x = 3:
f'(3) = 6.
То есть вблизи точки x = 3 при очень малом увеличении аргумента Δx значение функции x2 возрастает примерно на 6 ⋅ Δx. Такое утверждение основано на одном из свойств производной — линейном приближении f (x+Δx) ≈ f (x) + f′(x) Δx, которое верно при Δx → 0.
Что важно знать о производной
Узнать о других нюансах производной, а также освоить другие понятия математического анализа поможет курс «Математика для анализа данных». Обучение подойдёт начинающим аналитикам и специалистам по Data Science, позволит систематизировать и актуализировать знания и подготовиться к собеседованиям.
Понимание геометрического и физического смысла производной в математическом анализе помогает читать графики функций, находить экстремумы без громоздких расчётов и интерпретировать данные в прикладных задачах — от механики до экономики.
В геометрическом смысле значение производной в точке соответствует наклону касательной к графику функции в этой точке. Проще говоря, в выбранной точке прямая едва касается графика, не пересекая его.
Студенты курса «Математика для анализа данных» изучают геометрический смысл производной с помощью интеграктивного учебника, который наглядно показывает, как меняется её значение по касательной
Физический смысл производной в том, что она показывает скорость изменения величины во времени. Иными словами, скорость — это производная пути по времени, ускорение — производная скорости.
Например, если автомобиль двигается и разгоняется, его путь S(t) — кривая, а наклон касательной к этому графику в любой момент времени даёт скорость v(t) = S′(t). Если скорость тоже меняется, можно построить её график и снова применить операцию дифференцирования. Так появляется новая величина — ускорение: a(t) = v′(t) = S′′(t). Это вторая производная S′′(t), которая показывает, насколько быстро изменяется сама скорость, то есть описывает «характер изменения движения». Такой подход расширяет анализ: зная не только скорость, но и ускорение, можно предсказать, как именно будет вести себя объект в ближайшие моменты времени.
Производные встречаются не в одних в учебниках по математическому анализу, но и в прикладных задачах. Всё начинается с построения модели — функции, описывающей поведение системы по данным наблюдений или расчётов. Анализ производной этой функции показывает, где модель достигает экстремумов, на каких участках она растёт или убывает и с какой скоростью происходят изменения. Такой подход лежит в основе прогнозирования, оптимизации и моделирования процессов в самых разных сферах.
● Экономика. Производная функции прибыли или издержек показывает, как изменяется результат при изменениях цены или объёма выпуска. По сути, маржинальный анализ — это нахождение цены, при которой прирост прибыли становится нулевым, что помогает определить оптимальную стратегию ценообразования.
● Машинное обучение. В алгоритмах оптимизации, например в градиентном спуске, с помощью производных вычисляют градиенты функции ошибки. Градиент указывает направление наибольшего роста функции, а чтобы найти её минимум (экстремум), мы двигаемся в противоположную сторону. При обучении нейросети это означает: градиент ошибки по весам показывает, как изменить веса, чтобы уменьшить ошибку в следующей итерации.
● Физика и инженерия. Производные описывают скорость и ускорение, изменение температуры во времени, скорость химической реакции. Так, в механике второй закон Ньютона F = m ⋅ a напрямую связывает силу с производной скорости — ускорением.
● Медицина и биология. Используются для анализа скорости роста популяций, динамики концентрации лекарств в крови. Например, модель фармакокинетики определяет момент, когда концентрация вещества достигает максимума и когда начинает снижаться.
Понимание того, как выглядит график производной, помогает быстро находить ключевые особенности функции. В первую очередь — точки экстремума. Такие точки легко заметить на графике производной: там она пересекает ось x — значение равно 0, а знак значения производной меняется.
Чтобы построить график производной по графику функции, нужно выполнить три шага:
1. Определить точки, где касательная горизонтальная. Там производная равна нулю, на исходной кривой это экстремумы.
2. Определить знак производной на разных участках. Положительный наклон касательной значит, что она выше оси x, а отрицательный — что ниже.
3. Оценить относительные значения. Чем круче наклон касательной, тем больше по модулю значение производной.
В экстремумах производная равна нулю, но не каждый ноль производной является экстремумом. Знак производной на промежутках между нулями показывает, возрастает функция или убывает.
Знание основных формул производных позволяет быстро вычислять скорость изменения различных функций без обращения к определению через предел. Эти правила лежат в основе решения большинства задач по математическому анализу, физике и прикладной математике.
В реальных задачах функции редко бывают «в чистом виде». Чаще они состоят из нескольких частей: слагаемых, множителей или вложенных выражений. Например, x2 ⋅ sin x или ln (cos x). Чтобы взять их производную, нужно уметь правильно сочетать базовые формулы. Для этого есть правила дифференцирования.
Разберём формулы производных на примере. Допустим, f(x) = x2 ⋅ sin x. Найдём её производную:
1. Определяем тип выражения — это произведение двух функций: u = x2 и v = sin x. Используем правило произведения:
(f ⋅ g)′ = f′ ⋅ g + f ⋅ g′.
2. Находим производные каждого множителя:
3. Подставляем в правило произведения:
f′(x) = u′ ⋅ v + u ⋅ v′ = (2x) ⋅ sin x + (x2) ⋅ cos x.
4. Записываем ответ:
f′(x) = 2x ⋅ sin x + x2 ⋅ cos x.
Графики функции и производной
В итоге мы комбинировали две базовые формулы для xn и sin x, а также одно правило дифференцирования — произведение, чтобы найти производную сложного выражения.
Свойства производной помогают понять, как ведёт себя функция, не выполняя сложных вычислений. Они позволяют определить участки роста и убывания, найти экстремумы и выявить особенности графика. Разберём основные из них.
Составили несколько примеров вычисления производных — от простых функций до прикладных задач.
Простая функция
f(x) = x3.
Для определения производной берём формулу степенной функции:
f′(x) = 3x2.
Сложная функция
f(x) = ex ⋅ sin x.
Это произведение функций u=ex и v = sin x. Значит, подходит правило произведения:
f′(x) = ex ⋅ sin x + ex ⋅ cos x.
Можно вынести ex:
f′(x) = ex (sin x + cos x).
Вложенная функция
ln (cos x).
Это сложная функция, поэтому возьмём производную по формуле f(g(x))' = f'(g(x)) * g'(x).
Внешняя функция f(x) = ln(x).
Внутренняя функция g(x) = cos x.
Во внешней функции заменим t = cosx, получится f(t) = ln t, а её производная f’(t) = (ln(t))’ = 1/t. Подставим t = cosx и получим f’(g(x)) = 1/cosx.
Теперь внутренняя функция: её производная по формуле g’(x) = (cosx)′ = −sin x.
Получим:
(ln (cos x))’ = 1/cos x * (−sin x) = - sin x / cos x = −tan x.
Прикладная задача из физики
Путь движения тела задан функцией s(t) = 5t2 + 2t. Расстояние в метрах, время — в секундах. Необходимо определить скорость в момент времени t = 4 с.
Скорость — это производная пути по времени: v(t) = s′(t) = 10t + 2.
Добавляем t = 4:
v(4) = 10 ⋅ 4 + 2 = 42 м/с.
Ответ: скорость в заданный момент — 42 м/с.
Совет эксперта
Читать также: