Теория вероятностей: как научиться предсказывать случайные события

Для понимания задач по теории вероятностей нужно знать основные термины.

• Случайный эксперимент — это математическая модель реального эксперимента, результат которого невозможно точно предсказать(например, результат вытягивания карты из колоды, подбрасывания монеты или игрального кубика).

• Исход — результат эксперимента. Множество всех исходов эксперимента — это пространство исходов.

• Событие — это подмножество пространства исходов, которое удовлетворяет определённым условиям.
  
• Вероятность — это количественная оценка возможности наступления некоторого события. Вероятность события A равна сумме вероятностей исходов, благоприятных событию A. Если все исходы равновероятны, определение сводится к более простому, классическому определению вероятности: вероятность события А равна отношению количества благоприятствующих событию A исходов к общему количеству всех равновозможных исходов.

Часто нас интересует наступление не какого-то конкретного события, а целой группы событий. Если нужно, чтобы наступило хотя бы одно из группы событий, то речь идёт об их объединении или сумме. В таком случае события можно разделить на совместные и несовместные.

1. Противоположные события — события, которые исключают друг друга и не могут произойти одновременно. Сумма вероятностей противоположных событий всегда равна 1. Например, при подбрасывании монеты выпадение решки будет считаться как «не орёл». Рассчитывается по формуле Р(Ас) = 1 – Р(А). 
2. Несовместные события — это события, одновременное появление которых невозможно. Например, выпадение на кубике пятёрки исключает выпадение всех чисел, кроме неё. Если мы хотим вычислить вероятность, что на кубике выпадет 2 или 5, нам нужно сложить вероятности выпадения этих вариантов. Вероятность, что произойдёт одно или другое несовместное событие рассчитается по формуле P(A∪B)=P(A)+P(B).
3. Совместные события — это события, которые могут произойти одновременно, не исключая друг друга. Вероятность пересечения таких событий не равна 0. Например, выпадение на кубике чётного числа или числа, которое делится на 3, будет суммой совместных событий, так как число 6 делится и на 2, и на 3. Вычислить сумму совместных событий можно по формуле P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).

Если нас интересует одновременное наступление нескольких событий, речь о пересечении или об умножении вероятностей. В этом случае события можно разделить на зависимые и независимые.

1. Независимые события — когда первое событие не влияет на вероятность второго события, и наоборот. События называют независимыми, если вероятность их пересечения равна произведению вероятностей. Рассчитывается по формуле: P(A∩B)=P(A)*P(B). Например, выпадение из колоды карт дамы и туза — независимые события. 
2. Условная вероятность — вероятность первого события при условии, что произошло второе событие. Рассчитывается по формуле P(A | B) = P(A∩B) / P(B).
3. Зависимые события — когда вероятность одного события зависит от того, наступило другое или нет. Например, если вы вытягиваете из колоды две карты подряд, вероятность вытянуть второй раз туза будет зависеть от первой вытянутой карты. Вероятность произведения двух зависимых событий вычисляют по формуле P(A∩B)=P(A)*P(B|A).
4. Теорема Байеса — позволяет выяснить вероятность события при условии, что произошло связанное с ним другое событие. Другими словами, эта формула связывает между собой условные вероятности P(B|A) и P(A|B). Например, если известна распространённость симптома среди больных и здоровых, то можно вычислить вероятность заболевания от наличия симптома. Рассчитывается по формуле P(A | B) = P(B | A) × P(A) / P(B).

Для решения задачи по теории вероятностей нужно понять, к какому виду относится взаимодействие событий, и подробно записать условия. Рассмотрим три примера решения задач.

1.  Вычислим вероятность двух последовательных вытягиваниях туза. При этом достать можно только две карты без замены. В стандартной колоде 52 карты, из них четыре туза. Значит, при выборе одной карты из колоды вероятность вытягивания туза равна 4/52. Если первой картой был туз, в колоде остались 3 туза и 51 карта. Вероятность вытащить второго туза равна P(B|A)=3/51.

Если результат второй карты зависит от результата первой карты — это зависимые события. Вычислим вероятность вытягивания двух тузов по формуле P(A∩Б) = P(A) × P(Б|А):

• P(A∩Б)= 4/52 × 3/51.
• P(A∩Б)= 12/2652 ≈ 0,005 = 0,5% — вероятность вытягивания двух тузов из колоды карт без замены карт.

2.  Вычислим вероятность вытягивания из колоды чёрной карты или шестёрки. Известно, что в колоде 52 карты, из них четыре шестёрки и 26 карт чёрных мастей. Обозначим P(A)= 4/52 — вероятность выпадения шестёрки, P(B)=26/52 — вероятность выпадения карты чёрной масти. Эти события совместны, так как шестёрки могут быть чёрными, P(A∩B)=2/52. Так как нужна вероятность выпадения карты чёрной масти или шестёрки, это задача решается по формуле:

P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=4/52+26/52-2/52=28/52≈0,54.

3.  В классе 40% учеников изучают математику и естествознание, 60% — только математику.Вычислим вероятность того, что студент будет изучать естественные науки при условии, что он уже изучает математику. Студент изучает математику. Значит, одно из событий уже произошло — это условная вероятность. Формула будет такой: P(A | B) = P(A∩B) / P(B). Условия задачи заданы в процентах, переведём их в цифры: 

Р(М∩S) = 0,4; Р(М) = 0,6.

P(S|M) = P(M∩S) / P(S) = 0,4/0,6 = 2/3 ≈ 0,67, или 67%.

4. 10% поступивших в клинику пациентов страдают заболеваниями сердца, 5% пациентов в клинике курят, а 7% — курят при наличии заболевания сердца. Вычислим вероятность заболевания сердца у пациента, который курит.

Обозначим, Р(А) = 0,1; — вероятность, что пациент имеет заболевание сердца, Р(В) = 0,05 — вероятность, что пациент курит; P(B|A) = 0,07 — вероятность курения, если у пациента есть сердечное заболевание. Решим задачу с помощью теоремы Байеса по формуле P(A | B) = P(B | A) × P(A) / P(B) = (0,07 × 0,1) / 0,05 = 0,14.

Для самопроверки решите три задачи.

Задача 1. Есть пять зелёных и семь красных шаров. Два шара выбираются по одному без замены. Найти вероятность того, что первый шар будет зелёным, а второй — красным.

Решение. От выбора первого шара будет зависеть выбор второго шара — это зависимые события. Решение ищем по формуле: P(A/Б) = P(A) × P(Б).

P(A) × P(Б) = (5/12) × (7/11) = 35/132 = 3/7.

Задача 2. В колоде 52 карты — по 13 карт каждой масти (черви, бубны, трефы, пики). Найти вероятность того, что не выпадет карта червовой масти.

Решение. В колоде 13 червовых карт — значит, вероятность выпадения масти черви = 13/52, или 1/4;. Решим задачу через противоположное событие по формуле: Р(Ас) = 1 – Р(А).

Р(Ас) = 1 – 1/4 = 3/4; — вероятность, что карта червовой масти не выпадет.

Задача 3. У игрального кубика шесть граней. Нужно вычислить вероятность того, что не выпадет грань с единицей.

Решение. Эта задача на противоположные события. Всего у кубика шесть сторон — грани от 1 до 6. Вероятность выпадения единицы равна 1/6. Вероятность того, что единица не выпадет, рассчитаем по формуле Р(Ас) = 1 – Р(А):

Р(Ас) = 1 – 1/6 = 5/6