Теория вероятностей: как научиться предсказывать случайные события

Рассказываем, что такое теория вероятностей и как рассчитывать зависимые, независимые и другие события, на понятных примерах.

Теория вероятностей — это раздел математики, который позволяет нам анализировать события и предсказывать их логически обоснованным образом. Например, она помогает предсказывать погоду или оценивать риски в бизнесе. Эту теорию используют в разных сферах, таких как страхование, IT, сельское хозяйство, азартные игры и даже психология.

Вероятность события отражается в виде числа, которое всегда находится в диапазоне от нуля до единицы: ноль указывает, что событие не произойдёт, а единица — что оно точно произойдёт. Любое событие с вероятностью от 0 до 0,5 — маловероятно, а с вероятностью от 0,5 до 1 — вероятно. Вероятности могут быть выражены в дробях, десятичных дробях или процентах. Например, если событие имеет вероятность 1/2 — это то же самое, что 0,5 или 50%.

Предсказывать случайные события учат на курсе «Специалист по Data Science». За 8 месяцев студенты изучают и осваивают теорию вероятностей, статистику, языки программирования и программы, которые нужны для работы с машинным обучением. По окончании курса выпускники получают портфолио с 15 работами и диплом о профессиональной переподготовке.

Для решения задачи по теории вероятностей нужно понять, к какому виду относится событие, и подробно записать условия. Рассмотрим шесть примеров решения задач.

1. Вычислим вероятность вытягивания туза из колоды карт. При этом достать можно только две карты без замены.
В стандартной колоде 52 карты, из них четыре туза. Значит, при выборе одной карты из колоды вероятность вытягивания туза равна 4/52. Вероятность вытягивания туза по второй карте будет меняться в зависимости от того, что произошло при первом событии:

● Первой картой был туз, в колоде остались три туза и 51 карта. Значит, вероятность получить ещё один туз равна 3/51.
● Первая карта не была тузом, в колоде остались четыре туза и 51 карта. Значит, вероятность получить ещё один туз равна 4/51.

Если результат второй карты зависит от результата первой карты — это зависимые события. Вычислим вероятность вытягивания двух тузов по формуле P(A∩Б) = P(A) × P(Б|А):

● P(A∩Б)= 4/52 × 3/51.
● P(A∩Б)= 12/2652 = 0,004 = 0,4% — вероятность вытягивания двух тузов из колоды карт без замены карт.

2. Вычислим вероятность выпадения орла при подбрасывании монеты, где A — монета упала орлом, Б — решкой. Монета одна, у неё две стороны. Значит, шансы выпадения орла и решки одинаковые — ½.
Монета не может упасть сразу двумя сторонами — это взаимоисключающие события. Поэтому рассчитывать вероятность будем по формуле P(A или Б) = P(A) + P(Б):
P(A или Б)= ½ + ½ = 1 — вероятность, что монета упадёт орлом.

3. Вычислим вероятность вытягивания из колоды чёрной карты или шестёрки. Известно, что в колоде 52 карты, из них четыре шестёрки и 26 карт чёрных мастей. Результат вытягивания и в том и другом случае будет зависеть друг от друга, так как шестёрки могут быть чёрными. Значит, это задача на взаимоисключающие события, которая будет решаться по формуле: P(A или Б) = P(A) + P(Б) – P(A и Б). Вероятность выбора как чёрной карты, так и шестёрки = 2/52:
P(A или Б) = 26/52 + 4/52 – 2/52 = 28/52.

4. Вычислим вероятность того, что студент будет изучать естественные науки. При этом нужно учесть, студент уже изучает математику. В классе 40% учеников изучают математику и естествознание, 60% — только математику.
Студент изучает математику. Значит, одно из событий уже произошло — это условная вероятность. Формула будет такой: P(A | B) = P(A∩B) / P(B). Условия задачи заданы в процентах, переведём их в цифры: Р(М и S) = 0,40; Р(М) = 0,60.
P(S|M) = P(M и S) / P(S) = 0,40/0,60 = 2/3 = 0,67, или 67% — студент с высокой вероятностью начнёт изучать естественные науки.

5. Вычислим вероятность того, что из упаковки можно вытащить наугад две синие и одну чёрную ручку. При этом нужно учесть, что в упаковке девять ручек: четыре синие, две красные и три чёрные. Ручку нужно вытащить и повторить процесс ещё два раза.
Вероятность выпадения такого количества ручек с определённым цветом не зависит от предыдущего события — это независимые события. Значит, рассчитывать будем по формуле P(A/Б) = P(A) × P(Б). Вероятность вытянуть одну синюю ручку = 4/9, ещё одну синюю ручку = 4/9. Вероятность вытянуть одну чёрную ручку = 3/9.
Вероятность вытянуть две синие ручки и одну чёрную = 4/9 × 4/9 × 3/9 = 48/729.

6. Вычислим вероятность заболевания сердца у пациента. При этом нужно учесть, что пациент — курильщик. 10% поступивших в клинику пациентов страдают заболеваниями сердца, 5% пациентов в клинике курят, а 7% — курят и страдают заболеваниями сердца. Значит, Р(А) = 0,10; Р(В) = 0,05; B|A = 0,07. Решим задачу с помощью теоремы Байеса по формуле P(A | B) = P(B | A) × P(A) / P(B).

P(A|B) = (0,07 × 0,1) / 0,05 = 0,14 — вероятность события меньше 0,5. Значит, возникновение заболевания сердца у пациента маловероятно.