Интегралы: определение, свойства, примеры

Рассказываем в теории и на примерах о «швейцарском ноже» математического анализа.

Интеграл — один из основных инструментов математического анализа, который применяется для нахождения площади, объёма, длин кривых и для решения множества других задач, связанных с непрерывными изменениями. Чтобы понять его смысл, нужно обратиться к основной идее: интеграл позволяет вычислять совокупное значение некоторой величины, которая изменяется с течением времени или в зависимости от положения в пространстве.

С математической точки зрения интеграл можно представить как обобщение суммы. В классическом примере вычисления площади под кривой функция разбивается на множество узких прямоугольников, площадь которых затем складывается. Чем больше таких прямоугольников, тем точнее становится результат. В пределе при бесконечно малой ширине этих прямоугольников и вычисляется значение интеграла.

Метод левых прямоугольников

Интегралы бывают двух основных типов: определённые и неопределённые. Определённый интеграл имеет чёткие границы, в пределах которых производится вычисление, его результатом является конкретное число. Например, можно рассчитать площадь под графиком функции между двумя заданными точками. Неопределённый интеграл, напротив, не имеет границ и представляет собой целое семейство функций, производной от которых является исходная функция. Это похоже на обратное действие дифференцирования.

В широком смысле интеграл используется для определения суммы бесконечно малых изменений некоторой величины. Это мощный инструмент, который находит применение не только в математике, но и в физике, экономике, биологии и других науках. Интегралы лежат в основе таких понятий, как вероятность и математическое ожидание, они помогают описывать поведение жидкостей и газов, находить работу силы, центр масс объектов и даже анализировать популяции в биологических системах.

Востребованному специалисту в Data Science необходимо не только умело пользоваться инструментами анализа, но и понимать лежащий в их основе математический базис. На курсе «Математика для анализа данных» наставники помогают подтянуть знание математики до университетского уровня и разобраться в математическом анализе, линейной алгебре, статистике и теории вероятностей.

Пример, с которого стоит начать, — вычисление площади под кривой. Пусть имеется график функции f(x), которая непрерывно изменяется на некотором интервале. Чтобы найти площадь под этой кривой, можно разбить её на множество узких вертикальных прямоугольников. Площадь каждого такого прямоугольника можно вычислить как произведение его высоты (значения функции в точке x) и ширины (маленького изменения по оси x, часто обозначаемого как Δx).

Результатом сложения площадей всех этих прямоугольников является приближённая сумма. Чем меньше ширина этих прямоугольников, тем точнее вычисление. Интеграл — это предел такой суммы, когда ширина прямоугольников стремится к нулю, а количество прямоугольников — к бесконечности. Таким образом, интеграл учитывает все бесконечно малые изменения функции и позволяет точно определить площадь под её графиком.

На языке математики это записывается следующим образом:

где:

• a и b — границы интегрирования (начальная и конечная точки на оси x);
• f(x) — функция, описывающая кривую;
• dx— бесконечно малое изменение x.

Кроме суммирования, интеграл можно понимать как процесс, обратный дифференцированию. Вспомним, что производная функции показывает, как быстро она изменяется в каждой точке. Например, если производная от f(x) равна g(x), это значит, что g(x) описывает скорость изменения f(x). Интегрирование, по сути, является обратным процессом, в результате которого мы восстанавливаем исходную функцию f(x).

Это можно представить так: если дифференцирование отвечает на вопрос, как быстро что-то меняется, то интегрирование отвечает на вопрос, какое значение накопится в результате этих изменений.

Интегралы также можно интерпретировать геометрически. Определённый интеграл

Определённый интеграл — это тип интеграла, который вычисляется на определённом интервале и результатом которого является конкретное число. Он позволяет находить суммарное значение функции на всём промежутке, учитывая её поведение в каждой точке. В отличие от неопределённого интеграла, который даёт общую формулу для множества значений, определённый интеграл используется для нахождения точного результата на конкретном отрезке.

Для обозначения определённого интеграла функции f(x) на промежутке от a до b используется следующая запись:

Вычисление такого интеграла требует найти первообразную функции — F(x), то есть функцию, производная которой равна f(x). После нахождения первообразной F(x) значение определённого интеграла можно определить по формуле Ньютона — Лейбница:

Это означает, что нужно подставить в первообразную функции значения верхнего и нижнего пределов и найти разность.

1. Линейность интеграла: если c — константа, а f(x) и g(x) — две функции, то выполняется следующее правило:

Это свойство позволяет разбивать интеграл на несколько более простых интегралов.

2. Аддитивность интеграла: если промежуток интегрирования разбит на два участка, то интеграл можно рассматривать по частям:

Это свойство полезно, когда график функции меняет знак или имеет особенности на определённых участках.

3. Изменение пределов: если поменять местами верхний и нижний пределы интегрирования, то знак интеграла изменится на противоположный:

Это свойство отражает геометрическую интерпретацию интеграла: меняется направление отсчёта площади под графиком.

4. Интеграл от нуля: если функция f(x)=0 на всём интервале, то её определённый интеграл равен нулю:

Неопределённый интеграл — это интеграл, который не имеет конкретных границ и представляет собой общее семейство функций. Результатом вычисления неопределённого интеграла является первообразная, то есть функция, производная от которой равна исходной функции. Неопределённый интеграл записывается без указания пределов интегрирования и включает в себя постоянную интегрирования C, поскольку дифференцирование любой константы равно нулю.

Чтобы найти неопределённый интеграл функции f(x), нужно определить её первообразную F(x). В математической записи это выглядит так:

где:

• f(x) — функция, которую мы интегрируем;
• F(x) — первообразная f(x);
• C — произвольная постоянная, которая возникает из-за неопределённости.

Для вычисления неопределённых интегралов используются следующие основные правила.

1. Правило степенного интегрирования: если f(x)=xn, то для любого n-1:

2. Интеграл от константы: если c — постоянная, то

3. Интеграл от экспоненциальной функции: если f(x)=ex, то

4. Интеграл от синуса и косинуса:

Эти базовые правила являются отправной точкой для нахождения более сложных интегралов. В ряде случаев интегрирование требует применения специальных методов, таких как интегрирование по частям или замена переменной. Более подробный список можно посмотреть в таблице интегралов.

1. Интеграл от производной равен исходной функции:

Это свойство отражает взаимную обратность интегрирования и дифференцирования.

2. Замена переменной: если u=g(x), а f(g(x))g'(x) — функция, которую мы интегрируем, то применяется метод замены переменной:

Существуют различные методы вычисления интегралов. Выбор конкретного подхода зависит от типа интегрируемой функции и цели вычислений. К основным методам интегрирования можно отнести аналитические и численные методы. Каждый из них имеет свои особенности и применяется в зависимости от ситуации.
Аналитические методы используются для нахождения точных решений интегралов с помощью формул и теоретических подходов. Они включают в себя использование стандартных формул интегрирования, а также специальных методов для более сложных случаев. Основными аналитическими методами являются следующие.

1. Прямое интегрирование: используется для простых функций, таких как степенные функции, экспоненты, тригонометрические и логарифмические функции. Это случаи, когда интеграл можно взять напрямую, используя стандартные формулы.

Например:

В реальных задачах часто приходится сталкиваться с функциями, интегралы которых невозможно выразить в виде элементарных функций. В таких случаях используются численные методы, которые позволяют получить приближённое значение интеграла с заданной точностью. Основные численные методы включают следующие.

1. Метод прямоугольников: функция разбивается на равные интервалы, и вычисляется сумма площадей прямоугольников, образованных на каждом из них. Метод прост, но точность зависит от количества разбиений.

2. Метод трапеций: вместо прямоугольников используется аппроксимация функции трапециями. Это улучшает точность по сравнению с методом прямоугольников.

Метод трапеций

3. Метод Симпсона: более точный метод, использующий параболы для аппроксимации функции на каждом интервале. Позволяет получить высокую точность даже при небольшом количестве интервалов.

Метод Симпсона

4. Метод Монте-Карло: применяется для интегрирования сложных функций в многомерных пространствах. Он основан на случайной выборке точек в заданной области и подсчёте среднего значения функции в этих точках. Метод полезен в задачах по статистике и теории вероятностей.

Пример 1. Нахождение неопределённого интеграла:

Решение.

Здесь нужно применить правило интегрирования степенных функций для каждого члена по отдельности:

Таким образом, итоговый результат будет:

2. Применение формулы Ньютона — Лейбница для вычисления определённого интеграла:

Пример 3. Интегрирование методом замены переменной

Дан интеграл:

4. Возвращение к исходной переменной x:

Пример 4. Интегрирование по частям:

Решение

1. Пусть u = ln(x) и dv = xdx. Тогда

2. Применение формулы интегрирования по частям:

3. Подстановка значений:

5. Интегрирование правого члена:

6. Подстановка значений в итоговый результат: