Что такое математический анализ и зачем он нужен

Матанализ — это совокупность направлений математики, которое изучает математические функции, их свойства и изменения. Изначально он назывался «анализ бесконечно малых», его суть заключалась в исследовании функций с использованием производных, пределов и бесконечно малых величин.

Математический анализ считается международным языком математики, это база для взаимодействия со сложными концепциями других направлений. Методы матанализа пригодятся специалистам, которые работают со сложными вычислениями: физикам, программистам, финансовым аналитикам и аналитикам данных. Без интегралов, первообразной и производных невозможно анализировать непрерывные случайные величины и моделировать физические процессы — например, потоки жидкости.

Рассмотрим основные понятия, которые входят в математический анализ:

● Теория функций. Суть теории функций в том, что конкретная величина из одного множества определяет величину из другого множества. Например, y=f(x) — это простая функция с одной переменной, согласно которой множеству X по правилу f сопоставляется числовая величина из множества Y. При этом множество X — это область определения функции, а множество Y — область её значений. Функцию можно наглядно изобразить на графике.

Функции одной переменной на графиках изображаются как кривые в двух осях — X и Y

Также есть функции от n переменных, определённые в многомерном пространстве. Их суть в том, что берут координаты в N-мерном пространстве x=(x1,x2,…,xn) и в пару этой точке пространства ставят значение y=f(x). Например, двухмерное пространство можно сравнить с ландшафтом: высота над уровнем моря — это значение в точках пространства x — плоскость, которое описывает рельеф — горы, холмы, ямы. А для координат на земле выводится функция высоты.

Погрузиться в изучение функций и других составляющих матанализа можно на курсе «Математика для анализа данных», на котором студенты учатся применять математические уравнения и теоремы при работе с данными.

● Теория пределов. Например, есть функция y=1/x. X может быть любым числом, кроме нуля: эта функция в нуле не определена. Теория пределов состоит в анализе поведения функции в пределах возможных значений X: как она ведёт себя в окрестностях нуля, приближаясь к нему слева или справа по оси.

Функции в матанализе могут быть ограничены и не ограничены. Если они не ограничены, то предел не существует. А если ограничены в окрестностях точки поиска предела, есть шанс на его существование. Ограниченный предел рассчитывается по формуле:

Предел равен А, если все значения f(x) вокруг точки X близки к А

Предел на бесконечности в матанализе зависит от того, к чему стремится значение функции при бесконечно больших X. Если к конечному числу, то предел на бесконечности есть и функция ограничена, но это не гарантирует существование предела. Функция может меняться как sin(x) от -1 до 1, тогда она ограничена, но предела нет.

● Производные. Показывают, как меняется, то есть прирастает функция между двумя точками. Визуально производную можно показать на графике в виде касательной к функции. Она соприкасается с точкой А и идёт параллельно росту функции.

В этом графике производной: Δx — приращение аргумента, Δy — приращение функции

Для определения производной необходимо использовать предел, поскольку речь идёт об изменении функции при бесконечно малом приращении, которое и обозначено в пределе. Вычислить производную можно по следующей формуле матанализа:

Производная состоит из предела отношения приращения функции к приращению аргумента

Такое вычисление производной пригодится при изучении физических процессов. Например, функция описывает траекторию движения машины. Можно рассчитать ускорение — это будет производная скорости, а сама скорость — производная траектории движения.

● Дифференциальное исчисление. Изучает понятия производной, дифференциала и исследование функций с их помощью. Сам дифференциал в математическом анализе — это линейная часть приращения функции или аргумента. Вернёмся к графику, по которому была рассчитана производная. С его помощью можно также определить дифференциал.

В этом графике dх — дифференциал аргумента, dy — дифференциал функции

Дифференциал — основная часть изменения функции y = f(x) относительно изменений независимой переменной. Для его расчёта используется производная и дифференциал аргумента. В результате дифференциал функции определяется по формуле:

● Интегральное исчисление. Интеграл в матанализе помогает решить разные типы задач. Например, с его помощью можно рассчитать площадь под графиком, определить массу неоднородного тела или путь с неравномерным движением на определённом промежутке. Кроме того, интеграл позволяет вычислить первообразную — функцию, производная которой равна исходной функции. Она связана с производной следующим соотношением:

В математическом анализе интеграл бывает определённым и неопределённым. Первый вычисляется на конкретном отрезке области определения (X). Второй определяет семейство первообразных — восстановленных функций с неопределённой константой.

Определение интегралов в матанализе невозможно без знаний пределов и дифференциального исчисления, поскольку они учитывают приращение функции между точками. Возьмём для примера функцию f(x) в промежутке между точками a и b. Определённым интегралом в этом случае будет предел, который рассчитывается так:

Первообразная в матанализе обозначается как F, например, F(a) и F(b)

● Теория рядов. Суть заключается в исследовании и решении задач с помощью бесконечных последовательностей чисел или функций. Она позволяет определить, сходится ли ряд, найти сумму сходящегося ряда и исследовать свойства функций, представленных в виде рядов. Последовательностью натуральных чисел от 0 до бесконечности в матанализе называется числовой ряд. Отправной точкой может быть 0, 1, 2 и т. д.

Возьмём для примера ряды Тейлора, суть которых в разложении сложных функций на сумму простых. Допустим, числовая функция f(x) определена в окрестности точки «a» с непрерывными производными до n-степени. Её можно представить в виде степенного ряда:

Математический анализ пригодится в разных сферах:

● Анализ данных. Производные помогают понять, как результат изменяется в зависимости от входных данных, а применение дифференциалов даёт возможность моделировать и прогнозировать сложные события и процессы.

● Машинное обучение. В его основе лежит теория вероятностей, которая использует интегральное и дифференциальное исчисление. Также дифференциалы помогают моделировать физические процессы.

● Геймдев. Методы матанализа упрощают процесс симуляции явлений и поведения персонажей. Например, интегральное и дифференциальное исчисление позволяет рассчитать скорость движения или угол тени объекта.

● Маркетинг. Математический анализ используется в маркетинговых исследованиях для прогнозирования спроса, анализа трендов и оценки маркетинговых возможностей продукта.